国民健康保険は自分で役所に行って手続きをしなければなりません。各市区町村が運営しているため、引越しで市区町村が変わる場合は、引越し先で新たに加入する必要があります。
手続きの期限や必要なものがは事前に役所のホームページなどで確認しておきましょう。

同一の市区町村に引っ越す場合

引越し後に市区町村の役所にて住所変更の手続き（被保険者住所変更届）を行ってください。
準備が必要なものは保険証と印鑑と身分証明書です。転居の手続きと同時に行うといいと思います。

異なった市区町村内での移転・引越しの場合

引越し前の市区町村役所に行っていただき、「国民健康保険被保険者資格喪失届」の書類に記入して提出してください。その際に引越しをする者の保険証を返却する必要がありますので、印鑑と一緒に用意をしてください。この手続きも転出届の手続きと同時に行うといいと思います。

引越し後は、引越先の役所にて「国民健康保険被保険者資格取得届」の書類を記入していただき手続きをしてください。手続きには「喪失届」と印鑑、身分証が必要となります。
取得の手続きは引越し後14日以内と決められており、転入の手続き等と同時に行ってください。取得が遅れると手続きをすべきだった日までさかのぼって保険料を納付しなければならなくなりますので注意してください。
また、喪失届を提出した時から、手続きが終わるまでは一時的に保険証がなく無保険となります。
無保険のときに病気や怪我で病院に行った場合は、一旦は全額自己負担となりますが、国民健康保険の加入後に領収書を提出し保険診療負担を払い戻すことができます。

事業者の健康保険に加入している場合は、住所変更の手続きが必要ですので事業者に連絡をいれてください。